Question

已知cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

5π

4

+β)=-

12

13

，α∈(

π

4

，

3π

4

)，β∈(0，

π

4

)，求sin（α+β）的值．
已知

π

4

＜α＜

3π

4

，0＜β＜

π

4

，cos（

π

4

-α）=

3

5

，sin（

3π

4

+β）=

5

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：角的變換是三角函數(shù)學(xué)習(xí)中較困難的，解本題是抓住角的關(guān)系，把角借助于90°和180°這些特殊角進(jìn)行變換，解題過程中要用誘導(dǎo)公式幫助簡化過程．

解答：解：（1）∵

3π

4

+β-（

π

4

-α）=

π

2

+（α+β），
∴sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3π

4

+β）-（

π

4

-α）]
=-[cos（

3π

4

+β）cos（

π

4

-α）+sin（

3π

4

+β）sin（

π

4

-α）]
∵

π

4

＜α＜

3π

4

?-

3π

4

＜-α＜-

π

4

?-

π

2

＜

π

4

-α＜0，
0＜β＜

π

4

?

3π

4

＜

3π

4

+β＜π．
∴sin（

π

4

-α）=-

1-cos2( π 4 -α)

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

，
cos（

3π

4

+β）=-

1-sin2( 3π 4 -β)

=-

1-( 5 13 )2

=-

12

13

，
（2）由（1）知sin（α+β）=-[-

12

13

×

3

5

+

5

13

×（-

4

5

）]=

56

65

．

點評：已知一個角的某個三角函數(shù)式的值，求這個角的其他三角函數(shù)式的值或求和這個角有關(guān)的角的三角函數(shù)值，一般需用三個基本關(guān)系式及其變式，過程中會用到角的變換，通過恒等變形求解．