Question

指針位置	A區(qū)域	B區(qū)域	C區(qū)域
返存金額（單位：元）	60	30	0

五一節(jié)期間，某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如
圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時(shí)，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)�在的區(qū)域及對(duì)應(yīng)的返劵金額見右上表．
例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=

1

25

，標(biāo)準(zhǔn)差σξ=

3 11

50

，求n、p的值；
（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），再由二項(xiàng)分布的期望公式與二項(xiàng)分布的方差公式可得方程組，進(jìn)而求出p與n的值．
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C，再計(jì)算出P(A)=

1

6

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

2

，以及隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分布得到其發(fā)生的概率，假若求出離散型隨機(jī)變量的分布列與期望．

解答：解：（1）依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），
∴由二項(xiàng)分布的期望公式可得：Eξ=np=

1

25

--------------------------①-----------------（1分）
又因?yàn)楦鶕?jù)二項(xiàng)分布的方差公式可得：Dξ=(σξ)2=np(1-p)=

99

2500

-----------------②-------（2分）
由①②聯(lián)立解得：n=4，p=

1

100

---------------------------------------（4分）
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．則P(A)=

1

6

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

2

．
由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2次，所以隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120．---------------------（5分）
則有P(η=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

；P(η=30)=

1

2

×

1

3

×2=

1

3

；P(η=90)=

1

3

×

1

6

×2=

1

9

；
P(η=60)=

1

2

×

1

6

×2+

1

3

×

1

3

=

5

18

；P(η=120)=

1

6

×

1

6

=

1

36

．-----------------------------（10分）
所以，隨機(jī)變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η	1 4	1 3	5 18	1 9	1 36

所以其數(shù)學(xué)期望Eη=0×

1

4

+30×

1

3

+60×

5

18

+90×

1

9

+120×

1

36

=40-------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)分布的期望與方差公式與離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，此題屬于中檔題，是高考經(jīng)常涉及的考點(diǎn)之一．