Question

16．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（x+a）lnx，x＞0\\ 2ax+2+a，x≤0\end{array}$，且f'（-1）=f'（1），則當x＞0時，f（x）的導函數f'（x）的極小值為2．

Answer 1

分析 求出函數的導數，求出a的值，問題轉化為求g（x）=f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1的最小值問題，根據函數的單調性求出即可．

解答 解：x≤0時，f′（x）=2a，
x＞0時，f′（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+1，
由f'（-1）=f'（1），
得：f′（-1）=2a=f′（1）=a+1，
解得：a=1，
故x＞0時，f′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
設g（x）=f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，
則g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）遞增，
x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）遞減，
∴g（x）=f′（x）在x=1時取最小值，
∴g（x）_min=f′（x）_min=g（1）=2，
故答案為：2．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．