Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)存在極小值點，求的取值范圍；

(2)證明：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再討論時與時情況下導(dǎo)函數(shù)零點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定極值點取法，即得結(jié)果，（2）利用放縮法轉(zhuǎn)化證，()，利用二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性證不等式.

（1）由題意知，函數(shù)的定義域為

①當(dāng)時，令，解得

當(dāng)時，

當(dāng)時，

∴是函數(shù)的極小值點，滿足題意.

②當(dāng)時，令，

，

令，解得，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

∴，

若，即時，

恒成立，

在上單調(diào)遞增，無極值點，不滿足題意.

若，即時，

，

∴，

又在上單調(diào)遞增，

∴在上恰有一個零點，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

∴是的極小值點，滿足題意，

綜上，.

（2）當(dāng)時

若成立，

則必成立.

①若，則，

∴成立

∴成立.

②若，令，

,

令，,

∵,

∴,

∴在上單調(diào)遞增,

∴,

即,

∴在上單調(diào)遞增,

∴,

∴時，成立,

∴時，成立,

綜上，.