Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）判斷方程f（x）=

1

2

x+b的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可知f（-x）=f（x），然后化簡(jiǎn)可得2k+1=0，可求出k的值；
（2）令y=log₄（4^x+1）-x，由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正，當(dāng)b＞0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)b≤0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b沒有零點(diǎn)．

解答：解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-

1

2

證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x
令y=log₄（4^x+1）-x
由于y=log₄（4^x+1）-x為減函數(shù)，且恒為正
故當(dāng)b＞0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線 y=

1

2

x+b有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)b≤0時(shí)，y=log₄（4^x+1）-x-b沒有零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與直線 y=

1

2

x+b沒有交點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于中檔題．