Question

對(duì)于正整數(shù)a，b，存在唯一一對(duì)整數(shù)q和r，使得，.特別地，當(dāng)時(shí)，稱b能整除a，記作，已知
（1）存在，使得，試求，的值；
（2）求證：不存在這樣的函數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，若，則；
（3）若，(指集合B中的元素的個(gè)數(shù))，且存在，則稱為“和諧集”，.求最大的，使含m的集合A的有12個(gè)元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由．

Answer 1

解：(1)因?yàn)?IMG style="WIDTH: 116px; HEIGHT: 12px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120927/201209271857535671603.png">，
所以.                  
 (2)證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，
若，則.  
設(shè)，
由已知，由于，
所以.
不妨令，這里，且，
同理，，且，
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 46px; HEIGHT: 14px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120927/20120927185808843948.png">只有三個(gè)元素，
所以.即，
但是，與已知矛盾.
因此假設(shè)不成立，即不存在這樣的函數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，
若，則.                                    
(3)當(dāng)時(shí)，記，，
記,則，
顯然對(duì)任意，不存在，使得成立.
故是非“和諧集”，此時(shí).
同樣的，當(dāng)時(shí)，存在含的集合的有12個(gè)元素的子集為非“和諧集”.      
因此m≤7
下面證明：含7的任意集合的有12個(gè)元素的子集為“和諧集”.
設(shè)，若中之一為集合的元素，
顯然為”.現(xiàn)考慮都不屬于集合，構(gòu)造集合，，，，，.
以上每個(gè)集合中的元素都是倍數(shù)關(guān)系.
考慮的情況，也即中5個(gè)元素全都是的元素，中剩下6個(gè)元素必須從這5個(gè)集合中選取6個(gè)元素，那么至少有一個(gè)集合有兩個(gè)元素被選，
即集合中至少有兩個(gè)元素存在倍數(shù)關(guān)系.
綜上所述，含7的任意集合的有12個(gè)元素的子集為”，即的最大值為7.