Question

16．對于定義域為R的函數f（x），如果存在非零常數T，對任意x∈R，都有f（x+T）=Tf（x）成立，則稱函數f（x）為“T函數”．
（1）設函數f（x）=x，判斷f（x）是否為“T函數”，說明理由；
（2）若函數g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，證明：g（x）為“T函數”；
（3）若函數h（x）=cosmx為“T函數”，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；從而可判斷；
（2）由題意可得0＜a＜1，由f（x+T）=T•f （x）得a^x+T=Ta^x恒成立；從而可判斷；
（3）由f（x+T）=T•f （x）得cos（m（x+T））=Tcosmx恒成立；即cosmxcosmT-sinmxsinmT=Tcosmx恒成立，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{cosmT=T}\\{sinmT=0}\end{array}\right.$，從而解得m的范圍．

解答 解：（1）若函數f（x）=x是“T函數”，則f（x+T）=T•f （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T-1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
故f（x）不是“T函數”；
（2）證明：若函數g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，
則0＜a＜1，
若函數g（x）=a^x是“T函數”，則f（x+T）=T•f （x），
即a^x+T=Ta^x恒成立；
故a^T=T成立，
故g（x）為“T函數”；
（3）若函數f（x）=cosmx是“T函數”，則f（x+T）=T•f （x），
即cos（m（x+T））=Tcosmx恒成立；
故cos（mx+mT）=Tcosmx恒成立；
即cosmxcosmT-sinmxsinmT=Tcosmx恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{cosmT=T}\\{sinmT=0}\end{array}\right.$，
故T=±1，m=kπ，k∈Z．
即實數m的取值范圍是{m|m=kπ，k∈Z}．

點評 本題考查了學生對新定義的接受與應用能力，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．