Question

已知

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
（1）證明：

a

⊥

b

；
（2）若k

a

-

b

與3

a

-k

b

平行，求實(shí)數(shù)k；
（3）若k

a

-

b

與k

a

+

b

垂直，求實(shí)數(shù)k．

Answer 1

分析：（1）求出兩個(gè)向量的數(shù)量積，由數(shù)量積等于0得到兩向量垂直；
（2）由向量的數(shù)乘和減法的坐標(biāo)運(yùn)算求出k

a

-

b

與3

a

-k

b

的坐標(biāo)，然后利用向量平行的坐標(biāo)表示列式求解；
（3）由向量的數(shù)乘和加法的坐標(biāo)運(yùn)算求出k

a

-

b

與k

a

+

b

的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解．

解答：（1）證明：∵

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
∴

a

•

b

=(1，

3

)•(

3

，-1)=1×

3

+

3

×(-1)=

3

-

3

=0．
∴

a

⊥

b

；
（2）由

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
得：k

a

-

b

=k(1，

3

)-(

3

，-1)=(k-

3

，

3

k+1)，
3

a

-k

b

=3(1，

3

)-k(

3

，-1)=(3-

3

k，3

3

+k)．
∵k

a

-

b

與3

a

-k

b

平行，
∴(k-

3

)(3

3

+k)-(3-

3

k)(

3

k+1)=0．
解得：k=-

3

或k=

3

；
（3）由

a

=（1，

3

），

b

=（

3

，-1）．
得：k

a

-

b

=k(1，

3

)-(

3

，-1)=(k-

3

，

3

k+1)，
k

a

+

b

=k(1，

3

)+(

3

，-1)=(k+

3

，

3

k-1)．
∵k

a

-

b

與k

a

+

b

垂直，∴(k-

3

)(k+

3

)+(

3

k+1)(

3

k-1)=0．
解得：k=-1或k=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了向量的數(shù)乘、加法及減法的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．