Question

已知雙曲線(xiàn)C：-y²=1，若直線(xiàn)y=kx+m（k，m≠0）與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N在以點(diǎn)A（0，-1）為圓心的圓上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

Answer 1

（-，0）∪（4，+∞）
分析：將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，根據(jù)直線(xiàn)y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)，可得從而有，再利用M、N兩點(diǎn)都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，建立關(guān)于m的不等關(guān)系，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：如圖所示，由?（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為B（x₀，y₀），則有
? ①
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理得
因?yàn)镸、N兩點(diǎn)都在以A（0，-1）為圓心的同一圓上，所以AB⊥MN，
即，
∴3k²=4m+1 ②
由①②得
∴m＞4或．
故答案為：（-，0）∪（4，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)為載體，考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，有難度．