Question

【題目】在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．

（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD平面BCD，∴AB⊥CD

（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．

∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，

∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M ．

∴ =（0，1，﹣1）， =（1，1，0）， = ．

設平面BCM的法向量 =（x，y，z），則 ，

令y=﹣1，則x=1，z=1．

∴ =（1，﹣1，1）．

設直線AD與平面MBC所成角為θ．

則sinθ=|cos |= = = ．

【解析】（1）利用面面垂直的性質定理即可得出；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos |= 即可得出．