Question

（2010•馬鞍山模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．
（1）設(shè)f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）當a≤0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當a=-1時，證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)f′(x)=

2x

1+x2

+a，根據(jù)x=0是f（x）的一個極值點，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導函數(shù)f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，再對a進行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，進而可證得結(jié)論．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a，
因為x=0是f（x）的一個極值點，所以f'（0）=0，
∴a=0
此時f′(x)=

2x

1+x2

，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（4分）
（2）因為f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①當a=0時，f′(x)=

2x

1+x2

∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②當

a＜0 △≤0

即當a≤-1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
③當-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
∴f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
同理得，f（x）在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減；…（9分）
（3）由（2）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x²）＜x…（10分）
從而有：ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e…（12分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的運用，考查利用導數(shù)研究極值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的數(shù)學數(shù)學．