Question

已知一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象為C，且f[f（1）]=-1，若點(diǎn)在曲線C上，并有a₁=1，
（1）求f（x）的解析式及曲線C的方程；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設(shè)設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），代入f[f（1）]即可得k²+kb+b+1=0①；求出反函數(shù)，將點(diǎn)代入得f^-1（n）-f^-1（n-1）=1，又，即可得出k=1，代入①得b=-1
 故可求出f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1，進(jìn)而知曲線C的方程是x-y+1=0；
（2）由（1）知當(dāng)x=n時(shí)，f^-1（n）=n+1故，即可求出a_n=n!；
（3）由（2）可得，即可求出s_n=b₁+b₂++b_n=．
解答：解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
則f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又是曲線C的解析式．
∵點(diǎn)在曲線C上，
∴
又∵故，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲線C的方程是x-y+1=0（5分）

（2）由（1）知當(dāng)x=n時(shí)，f^-1（n）=n+1故，而a₁=1，
于是3•2•1=n!（10分）

（3）∵
∴S_n=b₁+b₂++b_n==（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考函數(shù)及數(shù)列的綜合運(yùn)用及其相關(guān)運(yùn)算，屬于中檔題．