已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線的焦點(diǎn)，

離心率等于.直線與橢圓C交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 橢圓C的右焦點(diǎn)是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；

若不可以,請(qǐng)說明理由.

 

【答案】

解：（1）設(shè)C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為                 ………………4分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線,使得點(diǎn)是的垂心.

易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.

設(shè)直線的方程為，              ………………6分

代入橢圓方程并整理，可得.

設(shè)，則，.

于是

解之得或.                     ………………10分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交，符合題意. 

所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心

【解析】略

 

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（本小題滿分14分） 已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原

點(diǎn)，左焦

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C，求△ABC面積的最大值。

 

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