Question

設(shè)x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：由x，y，z的大小關(guān)系，及x+y+z=，得到x的范圍，且用x表示出y+z，將所求式子后兩項(xiàng)利用積化和差公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)cosxsin（y-z）≥0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，求出所求式子的最小值；同理將所求式子前兩項(xiàng)結(jié)合，利用積化和差公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sin（x-y）≥0，cosz＞0，及余弦函數(shù)為減函數(shù)，即可求出所求式子的最大值．
解答：解：∵x≥y≥z≥，且x+y+z=，
∴≤x≤-×2=，y+z=-x，
∵≤x≤，y≥z，
∴cosxsin（y-z）≥0，
∴cosxsinycosz
=cosx×[sin（y+z）+sin（y-z）]
=cosx×[cosx+sin（y-z）]
=cos²x+cosxsin（y-z）≥cos²x═cos²=，
當(dāng)y=z=，x=時(shí)，cosxsinycosz取得最小值，最小值為，
∵sin（x-y）≥0，cosz＞0，
∴cosxsinycosz
=cosz×[sin（x+y）-sin（x-y）]
=cos²z-coszsin（x-y）≤cos²z==（1+cos）=，
當(dāng)x=y=，z=時(shí)取得最大值，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了積化和差公式，不等式的性質(zhì)，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．