Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，，也是等比數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若數(shù)列、都是等比數(shù)列，且滿足，試證明: 數(shù)列中只存在三項(xiàng)．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見(jiàn)解析

【解析】

(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式得結(jié)果，(2)先根據(jù)條件解得，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性得恒成立，最后根據(jù)最值得結(jié)果， (3)先反設(shè)超過(guò)項(xiàng)，再通過(guò)方程組求解公比，通過(guò)矛盾否定假設(shè)，即得結(jié)果.

解：（1） ，故當(dāng)時(shí)，

兩式做差得，

由為正項(xiàng)數(shù)列知，，即為等差數(shù)列，故

（2）由題意， ，化簡(jiǎn)得 ，所以 ，

所以，

由題意知

恒成立，即恒成立，所以，解得

（3）不妨設(shè)超過(guò)項(xiàng)，令，由題意，則有，

即

帶入，可得 （*），

若則，即為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾;

若，令得，令得，兩式作商，可得，帶入（*）得，即為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾，故這樣的只有項(xiàng).