Question

已知0＜α＜β＜π，且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的兩根，試求：
（Ⅰ）α+β的值；
（Ⅱ）tan(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：①解方程可得tanα、tanβ的值，代入兩角和的正切公式計(jì)算可得其值，結(jié)合角的范圍可得；
②代入兩角差的正切公式計(jì)算可得．

解答： 解：①∵tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的兩根，
解方程可得兩根為2和3，
即tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，
∴α、β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，π），
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1，
又可得α、β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，π），
∴α+β=

3π

4

；
②當(dāng)tanα=2，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，
tan（2α+

π

4

）=

tan2α+1

1-tan2α

=-

1

7

；
當(dāng)tanα=3，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

3

4

時(shí)，
tan（2α+

π

4

）=

tan2α+1

1-tan2α

=

1

7

；

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)公式，涉及一元二次方程和分類討論的思想，屬中檔題．