Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1過點(diǎn)（2，3），且一條漸近線的傾斜角為

π

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A₁，右焦點(diǎn)為F₂，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，求

PA1

•

PF2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，由漸近線的傾斜角為

π

3

得到a，b的關(guān)系，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則
雙曲線C的方程；
（Ⅱ）由雙曲線的方程求得左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入數(shù)量積整理，配方后由P得橫坐標(biāo)的范圍得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1過點(diǎn)（2，3），
∴

4

a2

-

9

b2

=1    ①，
又一條漸近線的傾斜角為

π

3

，即

b

a

=tan

π

3

=

3

    ②，
聯(lián)立①②得：a²=1，b²=3．
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：A₁（-1，0），F(xiàn)₂（2，0），
設(shè)P（x₀，y₀），
則

PA1

=(-1-x0，-y0)，

PF2

=(2-x0，-y0)，
∴

PA1

•

PF2

=(-1-x0)(2-x0)+y02
=x02-x0+y02-2=4x02-x0-5=4(x0-

1

8

)2-

81

16

，
∵x₀≥1，
∴當(dāng)x₀=1時(shí)，

PA1

•

PF2

有最小值為-2．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．