Question

已知函數(shù)（a為常數(shù)）
（1）當a=1時，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=1時，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-3+（x＞0），
φ′（x）=-=，
當0＜x＜1時，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，當x＞1時，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
所以φ（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）e^2f（x）=g（x），即e^2lnx=3-，x²=3-，則a=-x³+3x，
令h（x）=-x³+3x，則h′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
當x∈[1，2]時，h′（x）＜0，故h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以h（2）≤h（x）≤h（1），即-2≤h（x）≤2，
所以要使方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，須有a∈[-2，2]．
故實數(shù)a的取值范圍為[-2，2]．
分析：（1）a=1時，表示出φ（x），求導數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式φ′（x）＜0，φ′（x）＞0即可；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化為a=-x³+3x，令h（x）=-x³+3x，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）的值域問題；
點評：本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值的求解，準確求導，熟練計算是判斷單調(diào)性的基礎，本題（2）問的解決關鍵是把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．