Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

是奇函數(shù)
（1）a+b=

3

；
（2）若函數(shù)g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），由此求得a和b的值，即可求得a+b的值．
（2）由題意可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有兩個(gè)解，即函數(shù)y=

2x+1

與函數(shù) y=x-k有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

b- 2 x

2 x+1   +a

 時(shí)奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且 f（-1）=-f（1），
即 b=2°=1，

b- 1 2

1+a

=-

b-2

4+a

，解得 a=2，b=1，故a+b=3．
故答案為 3．
（2）函數(shù)g(x)=f(

2x+1

)+f(k-x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(

2x+1

) = -f(k-x) 有兩個(gè)解．
再由f（x）是奇函數(shù)，可得 f(

2x+1

) = f(x-k) 有兩個(gè)解，
故方程

2x+1

=（x-k）有兩個(gè)解，即函數(shù)y=

2x+1

與函數(shù) y=x-k有兩個(gè)交點(diǎn)．
如圖所示：當(dāng)直線(xiàn) y=x-k過(guò)點(diǎn)A（-

1

2

，0）時(shí)，y=

2x+1

的圖象與 y=x-k的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)k=-

1

2

．
當(dāng)y=

2x+1

與 y=x-k相切時(shí)，對(duì)于函數(shù)y=

2x+1

，令其導(dǎo)數(shù)為y′=

1

2x+1

=1，可得 x=0，此時(shí)，y=x-k與y=

2x+1

相切于點(diǎn)B（0，1），
把點(diǎn)B（0，1）代入 y=x-k可得 k=-1．
結(jié)合圖象可得，當(dāng)-1＜k≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)y=

2x+1

的圖象與函數(shù) y=x-k的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故k的取值范圍是（-1，-

1

2

]．
故答案為 （-1，-

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．