Question

P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC；   
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．

Answer 1

分析：（1）利用重心的性質(zhì)，以及面面平行的判定定理進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)平面的相交，以及相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的邊之比即可．

解答：證明：（1）如圖，分別取AB，BC，CA的中點(diǎn)M，N，Q，
連接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，
∵A′，B′，C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A′，B′，C′分別在PN，PQ，PM上，
且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．
在△PMN中，

PC′

PM

=

PA′

PN

=

2

3

，
故C′A′∥MN，
又M，N為△ABC的邊AB，BC的中點(diǎn)，MN∥AC，
∴A′C′∥AC，
∴A′C′∥平面ABC，
同理A′B′∥平面ABC，
∴平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）由（1）知，

A′B′

QN

=

2

3

，

QN

AB

=

1

2

，
∴A′B′：AB=1：3．
∴S△A′B′C′：S△ABC=（A′B′）²：（AB）²=1：9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面平行的判定，要證“面面平行”，只需要證明“線面平行”，即證“線線平行”，故問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行．