已知函f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷．
【答案】分析：用單調(diào)性定義來證明，先在給定區(qū)間上取兩個變量，且界定大小，不妨設x1＜x2＜0則有-x1＞-x2＞0，
再由“f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)”可得到f（-x1）＞f（-x2），然后由“f（x）是偶函數(shù)”轉(zhuǎn)化為f（x1）＞fx2），再由單調(diào)性定義判斷．
解答：解：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（1分）
證明：設x1＜x2＜0則-x1＞-x2＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（-x1）＞f（-x2）（7分）
又f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2）
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（12分）
點評：本題主要考查奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)論是：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•寶山區(qū)二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當x∈（-1，0）時，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時F（x）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）=數(shù)學公式是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當x∈（-1，0）時，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時F（x）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則


  1. A.
    f（x）是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)
  2. B.
    f（x）是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
  3. C.
    f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
  4. D.
    f（x）既非奇函數(shù)，又非偶函

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