Question

已知函數(shù)f(x)=x+

m

x

+2（m為實(shí)常數(shù)）．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為

2

，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

 ， 1]有解，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,奇偶性與單調(diào)性的綜合,兩點(diǎn)間的距離公式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用兩點(diǎn)的距離公式表示PQ，然后利用基本不等式求出最值，建立方程，可求出實(shí)數(shù)m的值；
（2）任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可知f（x₂）-f（x₁）＞0在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）將不等式f（x）≤kx中的k分離出來(lái)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究不等式另一側(cè)函數(shù)在[

1

2

，1]上的最小值，從而求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則y=x+

m

x

+2，
|PQ|2=x2+(y-2)2=x2+(x+

m

x

)2=2x2+

m2

x2

+2m≥2

2

|m|+2m=2，
當(dāng)m＞0時(shí)，解得m=

2

-1；當(dāng)m＜0時(shí)，解得m=-

2

-1，
∴m=

2

-1或m=-

2

-1．  
（2）由題意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=x2+

m

x2

+2-(x1+

m

x1

+2)=(x2-x1)•

x1x2-m

x1x2

＞0，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，
由x₂＞x₁≥2，得x₁x₂＞4，所以m≤4．
∴m的取值范圍是（-∞，4]；      
（3）由f（x）≤kx，得x+

m

x

+2≤kx，
∵x∈[

1

2

 ， 1]，∴k≥

m

x2

+

2

x

+1，
令t=

1

x

，則t∈[1，2]，所以k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[

1

2

 ， 1]有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥g（t）_min（t∈[1，2]）．
∵m＜0，
∴g(t)=m(t+

1

m

)2+1-

1

m

圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線t=-

1

m

＞0，
∵t∈[1，2]，
∴當(dāng)0＜-

1

m

≤

3

2

，即m≤-

2

3

時(shí)，g（t）_min=g（2）=4m+5；
當(dāng)-

1

m

＞

3

2

，即-

2

3

＜m＜0時(shí)，g（t）_min=g（1）=m+3，
綜上，當(dāng)m≤-

2

3

時(shí)，k∈[4m+5，+∞）；
當(dāng)-

2

3

＜m＜0時(shí)，k∈[m+3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，以及兩點(diǎn)的距離公式，其他不等式的解法，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．