Question

圓C₁：x²+y²+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0對稱，則

1

a

+

4

b

的取值范圍是

（-∞，1]∪[9，+∞）

．

Answer 1

分析：依題意，直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓C₁的圓心（-1，2），從而可得到a，b的關(guān)系式，利用一元二次方程的判別式即可求得

1

a

+

4

b

的取值范圍．

解答：解：∵圓C₁：x²+y²+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0對稱，
∴直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓C₁的圓心（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，
∴a+b=1（a≠0，b≠0）．
∴b=1-a，
∴

1

a

+

4

b

=

1

a

+

4

1-a

=

3a+1

a(1-a)

，令z=

3a+1

a(1-a)

，
則za²+（3-z）a+1=0．
當(dāng)a=-

1

3

時(shí)，z=0，
當(dāng)a≠-

1

3

時(shí)，za²+（3-z）a+1=0有解，
∴△=（3-z）²-4z=z²-10z+9≥0，
∴z≥9或z≤1．
即

1

a

+

4

b

≥9或

1

a

+

4

b

≤1．
故答案為：（-∞，1]∪[9，+∞）

點(diǎn)評：本題考查基本不等式，理解得到直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓C₁的圓心（-1，2）是關(guān)鍵，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．