Question

如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1,圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程.

(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

Answer 1

【解析】(1)由題設知,圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在.設過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,

由題意得,=1,解得k=0或-,

故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.

(2)因為圓心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為

(x-a)²+[y-2(a-2)]²=1.

設點M(x,y),因為MA=2MO,

所以=2,

化簡得x²+y²+2y-3=0,即x²+(y+1)²=4,

所以點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.

由題意知,點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點,

則|2-1|≤CD≤2+1,

即1≤≤3.

由5a²-12a+8≥0,得a∈R;

由5a²-12a≤0,得0≤a≤.

所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為.