Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）求函數(shù)f（）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）解析式中分母不為0，求出x的范圍，即為函數(shù)的定義域，并將函數(shù)解析式分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，分母利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，約分后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）將x=代入化簡后的解析式中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出f（）的值；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及函數(shù)的定義域，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間．
解答：解：由sin（-x）≠0，得x-≠kπ（k∈Z），即x≠kπ+（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）定義域?yàn)閧x|x≠kπ+（k∈Z）}，
f（x）===cosx+sinx=sin（x+），
（Ⅰ）f（）=sin（+）=sin=；
（Ⅱ）令2kπ+＜x+＜2kπ+（k∈Z），
得2kπ+＜x＜2kπ+（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）．
點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．