Question

已知a＞0且a≠1，數(shù)列{a_n}中，a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），令b_n=a_nlog₂a_n
（1）若a=2，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若0＜a＜1，b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù){a_n}是首項為a₁，公比為a的等比數(shù)列，可得{a_n}的通項，進而可得數(shù)列{b_n}的通項，利用錯位相減法可求前n項和S_n；
（2）利用數(shù)列{b_n}的通項，b_n+1＞b_n，可得(n+1)an+1log2a＞nanlog2a，再根據(jù)0＜a＜1，利用分離參數(shù)法，即可確定a的取值范圍．

解答：解：因為{a_n}是首項為a₁，公比為a的等比數(shù)列，所以a_n=aⁿ
所以，b_n=a_nlog₂a_n=aⁿlog₂a_n=naⁿlog₂a                   （2分）
（1）若a=2時，b_n=n2ⁿlog₂2=n2ⁿ
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①化簡可得S_n=-2-（n-1）2ⁿ⁺¹=2+（n-1）2ⁿ⁺¹                          （7分）
（2）因為b_n+1＞b_n，所以(n+1)an+1log2a＞nanlog2a
當0＜a＜1時，log₂a＜0，所以（n+1）a＜n，即a＜

n

n+1

因為

n

n+1

=1-

1

n+1

≤

1

2

所以0＜a＜

1

2

（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查錯位相減法求數(shù)列的函數(shù)，考查不等式問題，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．