已知圓C過定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心C在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng)，若MN為圓C在x軸上截得的弦，設(shè)｜AM｜=m,｜AN｜=n，∠MAN=θ.

(1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜MN｜是否變化?寫出并證明你的結(jié)論?

(2)求+的最大值，并求取得最大值時(shí)θ的值和此時(shí)圓C的方程.若不存在，說明理由

(1)｜MN｜=2p不變化  

（2）2 ， θ=45°圓的方程為(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2


解析:

(1)設(shè)圓心C(x0,y0),則x20=2py0，圓C的半徑｜CA｜=，其方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0，并將x20=2py0，代入，得x2-2x0x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p,∴｜MN｜=｜xN-xM｜=2p(定值)

(2)∵m=｜AM｜=,n=｜AN｜=,∴m2+n2=4p2+2x20,m·n=，∴+====

=2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)y0=p時(shí)等號(hào)成立，x0=±p，此時(shí)△MCN為等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=∠MCN=45°，故當(dāng)θ=45°時(shí)，圓的方程為(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知圓C過定點(diǎn)A（0，a）（a＞0），且在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為2a．
（1）求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)|AM|=m，|AN|=n，求
m
n
+
n
m
的最大值及此時(shí)圓C的方程．△ABC中，a，b，c是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，則下列兩條直線l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置關(guān)系是（　�。�

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已知圓C過定點(diǎn)A(0，a)(a＞0)，且在x軸上截得弦|MN|的長(zhǎng)為2a．

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已知圓C過定點(diǎn)A（0，a）（a＞0），且在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為2a．
（1）求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)|AM|=m，|AN|=n，求
m
n
+
n
m
的最大值及此時(shí)圓C的方程．△ABC中，a，b，c是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，則下列兩條直線l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置關(guān)系是（　�。�
A．、重合B．相交（不垂直）C．垂直D．平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C過定點(diǎn)A(0,a)(a>0)且在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為2a.

求圓C的圓心的軌跡方程；

設(shè)|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值及此時(shí)圓C的方程.

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