Question

已知f（n）=sin

nπ

4

，n∈Z．
（1）求證：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（n）=sin

nπ

4

為周期函數(shù)，且T=

2π

π 4

=8，即有f（n+8）=f（n），即可得證；
（2）求出f（1），f（2），…f（8）的值，再由周期8，算出2013項(xiàng)中周期的個(gè)數(shù)，即可計(jì)算．

解答： （1）證明：f（n）=sin

nπ

4

為周期函數(shù)，且T=

2π

π 4

=8，即有f（n+8）=f（n），
則f（9）=f（1），f（10）=f（2），…，f（16）=f（8），
則有f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）解：由于f（1）=

2

2

，f（2）=sin

π

2

=1，f（3）=sin

3π

4

=

2

2

，f（4）=sinπ=0，
f（5）=sin

5π

4

=-

2

2

，f（6）=sin

3π

2

=-1，f（7）=sin

7π

4

=-

2

2

，f（8）=sin2π=0．
則f（1）+f（2）+…+f（8）=0，
且2013=8×251+5，
則f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+…+f（5）=1+

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的周期性及運(yùn)用，考查三角函數(shù)的求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．