已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左、右頂點,F(xiàn)為其右焦點,P是橢圓C上異于A,B的動點,且△APB面積的最大值為2
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率;
(Ⅱ)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D,當直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系,并加以證明.
分析:(I)根據(jù)橢圓的特征可得當點P在點(0,b)時,△APB面積的最大,結合題中的條件可得a、b與c的關系進而得到答案.
(II)設點P的坐標為(x0,y0),由題意可設直線AP的方程為y=k(x+2),可得點D與BD中點E的坐標,聯(lián)立直線與橢圓的方程得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,進而表示出點P的坐標,結合點F坐標為(1,0),再寫出直線PF的方程,根據(jù)點E到直線PF的距離等于直徑BD的一半,進而得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由題意可設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,F(xiàn)(c,0).
由題意知
1
2
• 2a•b=2
3
a=2
a2=b2+c2 

解得b=
3
,c=1.
精英家教網(wǎng)故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,離心率為
1
2

(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.
證明如下:由題意可設直線AP的方程為y=k(x+2)(k≠0).
則點D坐標為(2,4k),BD中點E的坐標為(2,2k).
y=k(x+2)
x2
4
+
y2
3
=1
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
設點P的坐標為(x0,y0),則-2x0=
16k2-12
3+4k2

所以x0=
6-8k2
3+4k2
,y0=k(x0+2)=
12k
3+4k2

因為點F坐標為(1,0),
k=±
1
2
時,點P的坐標為(1,±
3
2
)
,點D的坐標為(2,±2).
直線PF⊥x軸,此時以BD為直徑的圓(x-2)2+(y±1)2=1與直線PF相切.
k≠±
1
2
時,則直線PF的斜率kPF=
y0
x0-1
=
4k
1-4k2

所以直線PF的方程為y=
4k
1-4k2
(x-1)

點E到直線PF的距離d=
|
8k
1-4k2
-2k-
4k
1-4k2
|
16k2
(1-4k2)2
+1
=
|
2k+8k3
1-4k2
|
1+4k2
|1-4k2|
=2|k|

又因為|BD|=4|k|,所以d=
1
2
|BD|

故以BD為直徑的圓與直線PF相切.
綜上得,當直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時,以BD為直徑的圓與直線PF相切.
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓中有關數(shù)值的關系,以及橢圓與直線的位置關系、圓與直線的位置關系.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系中,以M(-1,0)為圓心的圓與直線x-
3
y-3=0
相切.
(1)求圓M的方程;
(2)已知A(-2,0)、B(2,0),圓內(nèi)動點P滿足|PA|•|PB|=|PO|2,求
PA
PB
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),(0<x<
π
2
),f(x)=
AB
AC

(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期和值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(2,0),B(0,1)為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的兩點,P(x,y)為橢圓C上的動點,O為坐標原點.
( I)求橢圓C的方程;
( II)將|OP|表示為x的函數(shù),并求|OP|的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a=(2,0),b=(
12
,-2),則a•b=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(-2,0)、B(2,0),且△ABC的周長等于10,則頂點C的軌跡方程為
x2
9
+
y2
5
=1  (y≠0)
x2
9
+
y2
5
=1  (y≠0)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案