Question

已知函數

   （I）求函數上的最小值；

   （II）求證：對一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，當x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調遞減，

       當x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調遞增．               ……2分

       ①0＜t＜t＋2＜，t無解；

       ②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時，f （x）_min＝f （）＝－；

       ③≤t＜t＋2，即t≥時，f （x）在［t，t＋2］上單調遞增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；

       所以f （x）_min＝．                                           ……6分

       （II）問題等價于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

       由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當且僅當x＝時取到．

       設m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，易得m （x）_max＝m （1）＝－，當且僅當x＝1時取到，

                       從而對一切x∈（0，＋∞），都有l(wèi)nx＞－．