Question

若等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），公差d是的展開式中x²的系數(shù)，其中k為55⁵⁵除以8的余數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n+15n-75，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），根據(jù)排列組合的意義列出不等關(guān)系求出x，從而得出首項(xiàng)，又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1求出k值，利用二項(xiàng)式定理求出公差d，最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）結(jié)合（1）求得b_n，化簡(jiǎn)=，利用數(shù)列{}是遞增數(shù)列，即可得到證明．
解答：解：（1）在a₁=A_2x-3^x-1+C_x+1^2x-3（x＞3），中，有⇒x=4，
∴a₁=A₅³+C₅⁵=61，
又55⁵⁵=（56-1）⁵⁵=56m-1，m∈Z，∴55⁵⁵除以8的余數(shù)為7，∴k=7，
因的展開式中，通項(xiàng)為，當(dāng)r=1時(shí)，它是含x²的項(xiàng)，
∴的展開式中x²的系數(shù)是：-C₇¹×2=-14，
∴d=-14，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=61+（n-1）×（-14）=75-14n，
（2）∵b_n=a_n+15n-75=75-14n+15n-75=n，
∴=，數(shù)列{}是遞增數(shù)列，
且當(dāng)n=1時(shí)，，
由于==，
∴當(dāng)n→+∞時(shí)，→＜，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查排列組合、二項(xiàng)式定理、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查極限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，易錯(cuò)點(diǎn)是不能根據(jù)隱含條件得出變量x的值，屬于中檔題．