Question

設(shè)f（x）=

e-x

a

+

a

e-x

是定義在R上的函數(shù)．
（1）f（x）可能是奇函數(shù)嗎？
（2）若f（x）是偶函數(shù)，試研究其單調(diào)性．

Answer 1

分析：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；判斷函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義，先驗(yàn)證定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；判斷函數(shù)的單調(diào)性則一般用定義，作差法．

解答：解：（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)镽，
∴f（-x）=-f（x），
即

ex

a

+

a

ex

=-(

e-x

a

+

a

e-x

)，
整理得(a+

1

a

)（e^x+e^-x）=0，
即a+

1

a

=0，即a²+1=0，顯然無(wú)解．
∴f（x）不可能是奇函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即

ex

a

+

a

ex

=

e-x

a

+

a

e-x

，
整理得(a+

1

a

)（e^x-e^-x）=0，
又∵對(duì)任意x∈R都成立
∴有a-

1

a

=0，得a=±1．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^-x+e^x，以下討論其單調(diào)性，
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=e-x1+ex1-e-x2-ex2=（ex1-ex2）（1-

1

ex1ex2

）＞0，
其中ex1、ex2＞0，ex1-ex2＜0，
當(dāng)ex1•ex2=ex1+x2＞0時(shí)，即x₁+x₂＞0時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），f（x）為增函數(shù)，
此時(shí)需要x₁+x₂＞0，即增區(qū)間為[0，+∞），反之（-∞，0]為減區(qū)間．
當(dāng)a=-1時(shí)，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，+∞]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般作為簡(jiǎn)單題目出現(xiàn)．