Question

（2012•德陽(yáng)三模）函數(shù)f(x)=

x

sinx

，x∈(-π，0)∪(0，π)，其圖象可能是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：因?yàn)閥=

x

sinx

是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈（0，π）時(shí)在x=0處函數(shù)的極限為1，且在這區(qū)間內(nèi)，它的導(dǎo)數(shù)恒大于0，它在這一區(qū)間的圖象單調(diào)遞增，故x趨于π時(shí)，
f（x）的值趨近于無(wú)窮大，故x=π是它的漸近線，由此得出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閥=

x

sinx

是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以只需畫(huà)出（0，π）的圖象即可，再沿y軸對(duì)稱(chēng)即是另外一區(qū)間的圖象．
當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，由于

lim

n→∞

x

sinx

=

lim

n→∞

1

cosx

=1，故 在x=0處y=

x

sinx

的極限為1，且在這區(qū)間內(nèi)，它的導(dǎo)數(shù)恒大于0，它在這一區(qū)間的圖象單調(diào)遞增，
但是因?yàn)閟inπ=0，所以x趨于π時(shí)，f（x）的值趨近于無(wú)窮大，故x=π是它的漸近線．，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的特征，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．