Question

如圖，已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以橢圓C的上頂點Q為圓心作圓Q：x²+（y-2）²=r²（r＞0），設圓Q與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求

QM

•

QN

的最小值，并求此時圓Q的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與y軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：OR•OS為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 1 2 a=2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）由題意設M（x₁，y₁），N（-x₁，y₁），Q（0，2），

QM

=(x1，y1-2)，

QN

=(-x1，y1-2)，由此能求出y1=

8

7

時，

QM

•

QN

的最小值是

9

7

，圓Q的方程為：x2+(y-2)2=

135

49

．
（3）設P（x₀，y₀），MP：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），求出R（0，

y0x1-x0y1

x0-x1

），同理，S（0，

-y0x1-x0y1

x0+x1

），由此能證明OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|=4為定值．

解答： （1）解：∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
以橢圓C的上頂點Q為圓心作圓Q：x²+（y-2）²=r²（r＞0），
∴

c a = 1 2 a=2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的標準方程為

x2

3

+

y2

4

=1．
（2）解：由題意設M（x₁，y₁），N（-x₁，y₁），Q（0，2），

QM

=(x1，y1-2)，

QN

=(-x1，y1-2)，
∴

QM

•

QN

=-x12+(y1-2)2=

7

4

y12-4y1+1=

7

4

(y1-

8

7

)2-

9

7

，
∴y1=

8

7

時，

QM

•

QN

的最小值是

9

7

，
x₁=±

3 11

7

，r2=

99

49

+

36

49

=

135

49

，
∴圓Q的方程為：x2+(y-2)2=

135

49

．
（3）證明：設P（x₀，y₀），MP：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），
令x=0，y=

y0x1-x0y1

x0-x1

，R（0，

y0x1-x0y1

x0-x1

），
同理，S（0，

-y0x1-x0y1

x0+x1

），
∴OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|，
又

y02

4

+

x02

3

=1，

y12

4

+

x12

3

=1，
∴OR•OS=|

x02y12-x12y02

x02-x12

|=4為定值．

點評：本題考查橢圓C的標準方程的求法，考查

QM

•

QN

的最小值和此時圓Q的方程的求法，考查OR•OS為定值的證明，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．