Question

18．已知曲線Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R相交于A，B兩點(diǎn)，又原點(diǎn)O（0，0），則|OA|•|OB|=$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 首先把曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，建立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出結(jié)果．

解答 解：曲線Γ：ρ=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{1-\frac{1}{2}cosθ}}$，θ∈R
轉(zhuǎn)化成：$ρ-\frac{1}{2}ρcosθ=\frac{3}{2}$，
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，
整理得：3x²+4y²-6x-9=0，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，t∈R轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：y=$\sqrt{3}x$，
所以：$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}+4{y}^{2}-6x-9=0\\ y=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\sqrt{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}\\ y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}\end{array}\right.$
所以：|OA|=2，$\left|OB\right|=\frac{6}{5}$
則：|OA||OB|=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，解方程組問題的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．