Question

如圖，設(shè)邊長為1的正方形紙片，以A為圓心，AE=a（0＜a≤1）為半徑畫圓弧EF，裁剪的扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，余下的部分裁剪出它的底面．當(dāng)圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，圓錐底面的半徑r=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，在正方形余下部分裁剪出圓錐底面，當(dāng)?shù)酌鎴A與BC、CD和弧EF都相切時(shí)圓錐的側(cè)面積可達(dá)最大值．由此利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，算出底面圓半徑r滿足

2

=a+（1+

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）r，化簡可得圍成的圓錐側(cè)面積關(guān)于r的二次函數(shù)表達(dá)式．由扇形與圓M能圍成圓錐解出0＜r≤

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，利用二次函數(shù)的單調(diào)性加以計(jì)算，可得當(dāng)圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，圓錐底面的半徑r的值．

解答：解：根據(jù)題意，欲在正方形ABCD內(nèi)且在扇形AEF外的余下部分裁剪出圓錐的底面，
則圓錐的底面圓與BC、CD和弧EF都相切，設(shè)此時(shí)圓的圓心為M，與BC邊相切于點(diǎn)N．
設(shè)圓錐底面圓的半徑是r，由兩圓外切的性質(zhì)可得AM=a+r，
又∵Rt△CMN中，∠NCM=45°，
∴CM=

2

CN=

2

r，可得AC=AM+CM=a+（1+

2

）r．
∵AC為邊長為1的正方形的對(duì)角線，得AC=

2

，
∴

2

=a+（1+

2

）r，
可得a=

2

-（1+

2

）r…（*）
又∵若要能使扇形AEF與圓M圍成圓錐，則必須弧EF長大于或等于圓M的周長，
∴

π

2

a≥2πr，即a≥4r，代入（*）可得（5+

2

）r≤

2

，
解得0＜r≤

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．
∵圍成的圓錐母線為a，底面圓半徑為r，
∴圍成圓錐的側(cè)面積S_側(cè)=πar=πr[

2

-（1+

2

）r]，
可得S_側(cè)為關(guān)于r的二次函數(shù)，在區(qū)間（0，

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]上為關(guān)于r的增函數(shù)，
∴當(dāng)r=

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時(shí)，S_側(cè)有最大值．
綜上所述，可得圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，圓錐底面的半徑r=

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故答案為：

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點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)邊長為1有正方形裁剪，再圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的側(cè)面積最大時(shí)的半徑長．著重考查了圓錐的側(cè)面積公式、直線與圓和圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．