Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=1，AD=2，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為棱DD1 ， A1D1的中點(diǎn)．

（1）求證：平面CMN∥平面A1DE；
（2）求證：平面A1DE⊥平面A1AE．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵M(jìn)，N分別為棱DD1，A1D1的中點(diǎn)，∴MN∥A1D，

∵A1D平面A1DE，MN平面A1DE，∴MN∥平面A1CD．

∵E是BC中點(diǎn)，N是A1D1的中點(diǎn)，∴A1N=CE，A1N∥CE，

∴四邊形A1ECN是平行四邊形，∴CN∥A1E，

∵A1E平面A1DE，CN平面A1DE，∴CN∥平面A1CD，

又∵M(jìn)N∩CN=N，MN平面MCN，CN平面MCN，

∴平面CMN∥平面A1DE．

（2）

證明：∵AA1⊥平面ABCD，DE平面ABCD，

∴AA1⊥DE．

∵AB=1，AD=2，E為BC的中點(diǎn)，

∴ ，

∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．

∵AA1平面AA1E，AE平面AA1E，AE∩AA1=A，

∴DE⊥平面A1AE．

又DE平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．

【解析】（I）由中位線定理可得MN∥A1D，由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可得四邊形A1ECN是平行四邊形，故CN∥A1E，從而平面CMN∥平面A1DE；（2）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由線段的長(zhǎng)度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A1AE，從而平面A1DE⊥平面A1AE．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．