Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=xlnx．
（1）若函數(shù)f（x）＜0的解集為（1，3），且f（x）的最小值為-1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1，c=2時(shí)，若函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）＜0的解集為（1，3）可知，1，3是方程ax²+bx+c=0的根，則f（x）=a（x-1）（x-3），又由f（x）的最小值為-1可知a＞0且在對稱軸x=2上取得最小值，從而解出；
（2）φ（x）=f（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，（x＞0），函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）有零點(diǎn)可化為方程x²+bx+2+xlnx=0有解，則b=

-x2-xlnx-2

x

=-x-lnx-

2

x

，求這個(gè)函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）＜0的解集為（1，3），
∴1，3是方程ax²+bx+c=0的根，
∴f（x）=a（x-1）（x-3），
又∵f（x）的最小值為-1，
∴f（2）=-a=-1，
解得，a=1，
則f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）由題意，
φ（x）=f（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，（x＞0），
則函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）有零點(diǎn)可化為
方程x²+bx+2+xlnx=0有解，
則b=

-x2-xlnx-2

x

=-x-lnx-

2

x

，
則b′=-1-

1

x

+

2

x2

=

-x2-x+2

x2

=

-(x+2)(x-1)

x2

，
則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，b′＞0，b=-x-lnx-

2

x

在（0，1）上是增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，b′＜0，b=-x-lnx-

2

x

在（1，+∞）上是減函數(shù)，
則b_max=-x-lnx-

2

x

|_x=1=-1-0-2=-3．
即實(shí)數(shù)b的最大值為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了二次函數(shù)的解法與二次函數(shù)的特征及方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．