Question

已知函數(shù)f（x）=x+的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（2）=2+=2+求解a．
（2）先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有y=x+，x＞0，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得|PM|，|PN|計(jì)算即可．
（3）由（2）可將S_{四邊形OMPN}轉(zhuǎn)化為S_△OPM+S_△OPN之和，分別用直角三角形面積公式求解，再構(gòu)造S_{四邊形OMPN}面積模型求最值．
解答：解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有y=x+，x＞0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可知，|PM|==，|PN|=x，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|為定值，這個(gè)值為1．
（3）由題意可設(shè)M（t，t），可知N（0，y）．
∵PM與直線y=x垂直，
∴k_PM•1=-1，即=-1．解得t=（x+y）．
又y=x+，∴t=x+．
∴S_△OPM=+，S_△OPN=x²+．
∴S_{四邊形OMPN}=S_△OPM+S_△OPN=（x²+）+≥1+．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立．
此時(shí)四邊形OMPN的面積有最小值：1+．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，還考查了平面圖形的轉(zhuǎn)化與面積模型建立與解決．