Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率為

2

，若直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過(guò)題意，利用正方形的邊長(zhǎng)求出a，c，然后求出b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=

2

x+m，將y=

2

x+m代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)，由△，可得m的范圍． 設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)O到PQ的距離，表示三角形的面積，利用基本不等式，即可求△OPQ面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得a=2，b=c，又a²=b²+c²，∴b²=2，
∴橢圓的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）∵直線l的斜率為

2

，∴可設(shè)直線l的方程為y=

2

x+m，
將y=

2

x+m代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
 設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|PQ|=

[1+( 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

16-2m2

．…（7分）
又點(diǎn)O到PQ的距離為d=

|m|

3

，
∴S△OPQ=

1

2

•|PQ|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時(shí)取等號(hào)，且滿(mǎn)足（*）式．
∴△OPQ面積的最大值為

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．