設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，對任意x1，x2∈［0，］，都有f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）.

（1）設(shè)f（1）=2，求f（），f（）；

（2）證明f（x）是周期函數(shù)；

 

答案：
解析：

（1）解：由f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2），x1，x2∈［0，］知

f（x）=f（）·f（）≥0，x∈［0，1］，∵f（1）=f（+）=f（）·f（）=

[f（）]2，f（1）=2，∴f（）=2．

∵f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（）=2，

∴f（）=2．

（2）證明：依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，

∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x）

又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x），

∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期．

 


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

3、設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（3）+f（-2）=2，則f（2）-f（3）=
-2
．

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設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+2x-1，則f（-1）=（　�。�

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設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=0，當(dāng)x＞0時，有f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式xf（x）＞0的解集為（　　）

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設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）滿足f（1-x）=f（x），且f( 
1
2
 )=2，則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)=
-2
-2
．

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設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x）．當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x2+a（a是常數(shù)）．則x∈[2，4]時的解析式為（　�。�
A、f（x）=-x2+6x-8B、f（x）=x2-10x+24C、f（x）=x2-6x+8D、f（x）=x2-6x+8+a

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