Question

【題目】已知函數(shù)，下列命題：

①為偶函數(shù)；②的最大值為2；

③在內(nèi)的零點個數(shù)為18；

④的任何一個極大值都大于1．

其中所有正確命題的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由于函數(shù)，根據(jù)奇偶性的定義和圖象與性質(zhì)，分析函數(shù)的奇偶性、最值、對稱性和極值，從而可判斷命題的真假．

解：對于①，函數(shù)，定義域為，且滿足，

所以函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；

對于②，因為，，所以，

又因為，即當時，取得最大值為2，故②正確；

對于③，的圖象如圖所示，可知在內(nèi)有10個零點，

由①可知為偶函數(shù)，其零點關(guān)于原點對稱，

所以在內(nèi)的零點個數(shù)為20，所以③錯誤；

對于④，由于是偶函數(shù)，則只需考慮的情況，

此時，則，

由和的圖象可知，

在每一個區(qū)間上，時，有2個解，

且當時，，則單調(diào)遞增，

當時，，則單調(diào)遞減，

而，所以得極大值為，

所以的任何一個極大值都大于1，故④正確.

綜上知，正確的命題序號是①②④．

故答案為：①②④．