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(2013•鷹潭一模)已知點P是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點,橢圓短軸長為2,F1,F2是橢圓的兩個焦點,|OP|=
10
2
PF1
PF2
=
1
2
(點O為坐標原點).
(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率;
(Ⅱ)直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點,若橢圓C上兩點M、N使
OM
+
ON
OA
,λ∈(0,2)求△OMN面積的最大值.
分析:(Ⅰ)利用橢圓短軸長為2,求b.利用,|OP|=
10
2
,
PF1
PF2
=
1
2
,可求c,進而求出橢圓方程和離心率.
(Ⅱ)將直線方程和橢圓方程聯立,進行消元,轉化為一元二次方程問題,然后利用根與系數之間的關系進行求解.
解答:解:(Ⅰ)設P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0)由|OP|=
10
2
,得x02+y02=
5
2
,…(1分)
PF1
PF2
=
1
2
(-c-x0,-y0)?(c-x0,-y0)=
1
2
,即x02+y02-c2=
1
2
…(2分)
所以c=
2
,又因為短軸長為2,所以b=1,所以離心率e=
c
a
=
6
3
,…(4分)
橢圓C的方程為:
x2
3
+y2=1
;…(6分)
(Ⅱ)解法一:由
y=x
x2
3
+y2=1
A(
3
2
,
3
2
)
,設直線MN的方程為y=kx+m,
聯立方程組
y=kx+m
x2
3
+y2=1
消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0…(7分)
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
6km
1+3k2
,x1x2=
3m2-3
1+3k2
…(8分)
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=
2m
1+3k2


因為
OM
+
ON
OA
,λ∈(0,2),所以x1+x2=
3
2
λ
,y1+y2=
3
2
λ

kMN=-
1
3
,m=
3
3
λ
,于是x1+x2=
3m
2
x1x2=
9m2-9
4
…(9分)
所以|MN|=
1+(-
1
3
)
2
|x1-x2|=
10
3
(x1+x2)2-4x1x2
=
10
?
4-3m2
2
…(10分)
又因為λ>0,原點O到直線MN的距離為d=
3
10
m
10
   所以S△OMN=
1
2
|MN|d=
10
?
4-3m2
4
?
3
10
m
10
S△OMN=
1
2
|MN|d=
10
?
4-3m2
4
?
3
10
m
10
=
3
?
(4-3m2)3m2
4
3
2
,
m=
6
3
,即λ=
2
時等號成立,S△OMN的最大值為
3
2
…(13分)
點評:本題主要考查了橢圓的方程和性質,以及直線與橢圓的位置關系.綜合性較強,運算量較大.
練習冊系列答案
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OA
OB
OC
滿足:
OA
-[y+2f'(1)]•
OB
+ln(x+1)•
OC
=
0
;
(Ⅰ)求函數y=f(x)的表達式;          
(Ⅱ)若x>0,證明f(x)>
2x
x+2
;
(Ⅲ)當
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3
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2+i
1-i
-i(2-i)
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5
x+1
<1,x∈R}
,則集合A∩?RB=( 。

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