Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（3-a）lnx+

1

x

+3ax，a∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈[1，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

16

3

+2ln3恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（1）的值，即求出切點的坐標，求出f（x）在x=1處的導(dǎo)函數(shù)的值，即為切線的斜率，再根據(jù)直線的點斜式寫出切線方程．
（Ⅱ）由f（x）在[1，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)，有f′（x）≥0，在[1，3]上恒成立，得出不等式，求出a的取值范圍，
（Ⅲ）若對任意x₁，x₂∈[1，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜

16

3

+2ln3恒成立，即f(x)max-f(x)min＜

16

3

+2ln3，求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，f(x)=3lnx+

1

x

，則f′(x)=

3

x

-

1

x2

，
∴f'（1）=2，y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x-1．
（Ⅱ）由題知當x∈[1，3]時，恒有f′(x)=

3-a

x

-

1

x2

+3a≥0，
即3ax²+（3-a）x-1≥0，（3x-1）（ax+1）≥0，
∵x∈[1，3]，∴ax+1≥0，
∴

a+1≥0 3a+1≥0

，∴a≥-

1

3

．
（Ⅲ）∵a＞0，由（Ⅱ）知f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴f(x)max=f(3)=(3-a)ln3+

1

3

+9a，f（x）_min=f（1）=1+3a．
∴|f(x1)-f(x2)|≤|f(3)-f(1)|=(3-a)ln3-

2

3

+6a，
由題知(3-a)ln3-

2

3

+6a＜

16

3

+2ln3
解得a＜1，
∴0＜a＜1．

點評：本題利用求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，求最值，運用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思．是一道導(dǎo)數(shù)綜合題．屬于中檔題．