Question

某商場統(tǒng)計了去年各個季度冰箱的進貨資金情況，得到如下數(shù)據(jù)：

季       度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
進貨資金（單位：萬元）	42.6	38.3	37.7	41.4

（1）試求該商場去年冰箱的“季擬合進貨資金m”的值（m是這樣的一個量：它與各個季度進貨資金差的平方和最小）；
（2）該商場今年第一個季度對冰箱進貨時，計劃進貨資金比去年季擬合進貨資金增長25%．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售“節(jié)能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤P（萬元）和Q（萬元）與進貨資金t（萬元）分別近似地滿足公式P=

1

4

t和Q=

20t

t+20

，那么該商場今年第一個季度應(yīng)如何分配進貨資金，才能使銷售冰箱獲得的利潤最大？最大利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）利用m與各個季度進貨資金差的平方和，結(jié)合配方法，求出最小，即可得到結(jié)論；
（2）求出今年第一季度的進貨資金，再構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，利用換元、基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)四個季度的進貨資金分別為a₁，a₂，a₃，a₄，
則M=(m-a1)2+(m-a2)2+(m-a3)2+(m-a4)2=4m²-2（a₁+a₂+a₃+a₄）m+a12+a22+a32+a42 …（3分）
所以當(dāng)m=

a1+a2+a3+a4

4

時，M最小…（5分）
故所求的季擬合進貨資金m=

42.6+38.3+37.7+41.4

4

=40萬元…（7分）
（2）因為今年第一季度的進貨資金為40×（1+25%）=50萬元，設(shè)用于普通冰箱的進貨資金為x萬元，則用于節(jié)能冰箱的進貨資金為（50-x）萬元，
從而銷售冰箱獲得的利潤為y=P+Q=

1

4

(50-x)+

20x

x+20

（0≤x≤50）…（10分）
令s=x+20（s∈[20，70]，則y=

75

2

-(

s

4

+

400

s

)≤

75

2

-2

s 4 × 400 s

=

35

2

…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)s=40，即x=20時，y取得最大值為17.5，
所以當(dāng)用于節(jié)能冰箱的進貨資金為30萬元，用于普通冰箱的進貨資金為20萬元時，可使銷售冰箱的利潤最大，最大為17.5萬元…（14分）

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．