已知f(x)=
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
g(x)=
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1

(1)分別求f(x)、g(x)的定義域,并求f(x)•g(x)的值;(2)求f(x)的最小值并說明理由;
(3)若a=
x2+x+1
 , b=t
x
 , c=x+1
,是否存在滿足下列條件的正數(shù)t,使得對于任意的正
數(shù)x,a、b、c都可以成為某個(gè)三角形三邊的長?若存在,則求出t的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用被開放數(shù)大于0可求函數(shù)的定義域,直接相乘化簡即可;   
(2)先考慮
x
+
1
x
≥2
,再說明函數(shù)y=
x
+
1
x
y=
x+
1
x
+1
在(-∞,1]上均為減函數(shù),在[1,+∞)上均為增函數(shù),從未求出函數(shù)的最小值.
(3)利用構(gòu)成三角形的條件,轉(zhuǎn)化為恒成立問題利用(1)(2)的結(jié)論可確定.
解答:解:(1)f(x)、g(x)的定義域均為(0,+∞);…(2分)
   f(x)•g(x)=( 
x
+
1
x
 )2-( x+
1
x
+1 )=1
.…(4分)
(2)∵
x
+
1
x
≥2
,∴
x
+
1
x
 )2≥4⇒x+
1
x
≥2
.…(7分)
易知函數(shù)y=
x
+
1
x
y=
x+
1
x
+1
在(-∞,1]上均為減函數(shù),在[1,+∞)上均為增函數(shù),
f(x)min=f(1)=2+
3
.…(10分)
(3)∵a=
x2+x+1
<x+1=c
,…(11分)
∴若能構(gòu)成三角形,只需
x2+x+1
+t
x
>x+1
x2+x+1
+(x+1)>t
x
t>
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
t<
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
恒成立.…(13分)
由(1)知,f(x)•g(x)=1⇒g(x)=
1
f(x)
,
f(x)≥2+
3
,∴g(x)=
1
f(x)
≤2-
3
,即t>2-
3
.…(15分)
由(2)知,f(x)≥2+
3
,∴t<2+
3
.…(17分)
綜上,存在t∈( 2-
3
 , 2+
3
 )
,滿足題設(shè)條件.…(18分)
點(diǎn)評:本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值,將是否存在性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題時(shí)解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
x+1,x∈[-1,0)
x2+1,x∈[0,1]
,則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識訓(xùn)練(20)(解析版) 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:模擬題 題型:解答題

已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省高考真題 題型:解答題

已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

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