Question

14．若關(guān)于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當(dāng)x∈（-∞，λ]時(shí)對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當(dāng)x∈（-∞，λ]時(shí)對(duì)任意n∈N^*恒成立，等價(jià)于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由此求出λ的取值范圍

解答 解：關(guān)于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當(dāng)x∈（-∞，λ]時(shí)對(duì)任意n∈N^*恒成立，
等價(jià)于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
即x²+$\frac{1}{2}$x≥$\frac{1}{2}$對(duì) x∈（-∞，λ]恒成立；
設(shè)y=x²+$\frac{1}{2}$x，它的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{4}$的拋物線，
所以當(dāng)x≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，左邊是單調(diào)減函數(shù)，所以要使不等式恒成立，則λ²+$\frac{1}{2}$λ≥$\frac{1}{2}$，
解得λ≤-1，或λ≥$\frac{1}{2}$（舍）；
當(dāng)x＞-$\frac{1}{4}$時(shí)，左邊的最小值就是在x=-$\frac{1}{4}$時(shí)取到，
達(dá)到最小值時(shí)，x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{16}$，不滿(mǎn)足不等式．
因此λ的范圍就是 λ≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，是綜合性題目．