Question

17．設(shè)x＞0，y＞0且x≠y，求證${（{x}^{3}+{y}^{3}）}^{\frac{1}{3}}$＜${（{x}^{2}+{y}^{2}）}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 利用分析法進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵x＞0，y＞0，
∴要證明：${（{x}^{3}+{y}^{3}）}^{\frac{1}{3}}$＜${（{x}^{2}+{y}^{2}）}^{\frac{1}{2}}$，
要證明：${（{x}^{2}+{y}^{2}）}^{\frac{1}{2}}$＞${（{x}^{3}+{y}^{3}）}^{\frac{1}{3}}$，
只需證明：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即證x²y²（3x²-2xy+3y²）＞0，
只需證明3x²-2xy+3y²＞0，
∵3x²-2xy+3y²=2x²+2y²+（x-y）²＞0，
∴不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分析法，屬于基礎(chǔ)題．