Question

如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：①第一行的第n 個數(shù)，分別是1，3，5，7，9，…，2n-1； ②從第二行起，各行中的每一個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和； ③數(shù)陣共有n行；
問：第32行的第17個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規(guī)律型

分析：設(shè)第k行的第一個數(shù)為a_k，則a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a₃=12=2a₂+2²，a₄=32=2a₃+2³，…歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，且公差依次為：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17個數(shù)．

解答： 解：設(shè)第k行的第一個數(shù)為a_k，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上歸納，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴

ak

2k

=

ak-1

2k-1

+

1

2

，即

ak

2k

-

ak-1

2k-1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

an

2n

=

n

2

，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，
且公差依次為：2，2²，…，2^k，…
第n行的首項為a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項為a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個數(shù)是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故答案為：2³⁷．

點評：本題考查數(shù)列的應用，解題時要認真審題，合理地總結(jié)規(guī)律，注意歸納法和構(gòu)造法的合理運用．