Question

一個袋子中裝有m個紅球和n個白球（m＞n≥4），它們除顏色不同外，其余都相同，現從中任取兩個球．
（1）若取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數倍，求證：m必為奇數；
（2）若取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率，求滿足m+n≤20的所有數組（m，n）．

Answer 1

分析：（1）首先分別求出從中取出兩個紅球的概率與取出一紅一白兩個球的概率之和，再根據題意列方程組并且進行整理可得：m-1=2nk，進而根據奇偶數的特征得到答案．
（2）首先由題意可得：取出兩個球顏色相同的概率，再求出取出兩個球的顏色不同（即兩個球的顏色是一紅一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再結合題中的條件求出m-n的取值是3，4，進而得到相應m+n的取值分別是9，16，再結合m＞n≥4求出答案．

解答：證明：（1）由題意可得：從中任取兩個球的不同取法共有：C_m+n²種，
取出兩個紅球的不同取法有：C_m²=

m(m-1)

2

，
所以取出兩個紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
取出一紅一白兩個球的不同取法為：C_m¹C_n¹，
所以取出一紅一白兩個球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
又因為取出兩個紅球的概率等于取出一紅一白兩個球的概率的整數倍，
所以

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即m-1=2nk，
因為2nk為偶數，
所以m-1為偶數，即m為奇數．
解：（2）由題意可得：取出兩個球顏色相同即兩個球都是紅色或者都是白色，
因為取出兩個白球的不同取法有：

C

2 n

 =

n(n-1)

2

，
所以取出兩個白球的概率為：

C 2 n

C 2 m+n

，
由（1）可得：取出兩個紅球的概率為：

C 2 m

C 2 m+n

；
所以取出兩個球顏色相同的概率等于

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

；
取出兩個球的顏色不同即兩個球的顏色是一紅一白，
由（1）可得：取出一紅一白兩個球的概率為：

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

．
因為取出兩個球顏色相同的概率等于取出兩個顏色不同的概率，
所以

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，即（m-n）²=m+n，
因為m＞n≥4，
所以m+n＞8，
又因為m+n≤20，
所以2

2

∠m-n≤

20

＜5，m-n的取值只可能是3，4，
所以相應m+n的取值分別是9，16，
可得 

m=6 n=3

或

m=10 n=6

，
因為m＞n≥4，
所以（m，n）的數組值為（10，6）．

點評：本題主要考查等可能事件的概率公式與排列、組合、計數原理的有關問題，解決此題的關鍵是挖掘題中的隱含條件以及熟練掌握組合數與排列數的計算公式，此題對學生運用所學知識靈活解決問題的能力要求較高，考查學生的計算能力，此題屬于中檔題目．